韩信与数学

发表:2010-01-31 02:01
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韩信是中国历史上最有名的军事家之一,被刘邦和吕后出于嫉妒和私心害死了。历史上很多史家和学者为他平反,众多的诗人为他留下大量的诗篇。围绕着韩信还流传了各种各样的传说。在今天我们所介绍的两则传说中,人们把他作为智慧的化身,就寄托着历代人们对他的深切的同情和怀念。

韩信分油

据说有一天,韩信骑马走在路上,看见两个人正在路边为分油发愁。这两个人有一只容量10斤的篓子,里面装满了油;还有一只空的罐和一只空的葫芦,罐可装7斤油,葫芦可装3斤油。要把这10斤油平分,每人5斤。但是谁也没有带秤,只能拿手头的三个容器倒来倒去。应该怎样分呢?

韩信骑在马上,了解情况以后,说:“葫芦归罐罐归篓,二人分油回家走。”说完了,打马就走。两个人按照韩信的办法倒来倒去,果然把油平均分成两半,每人5斤,高高兴兴,各自回家。究竟是怎样倒来倒去的呢?三种容器各自装油斤数的变化过程,可从下面的表中看出。

10
7
7
4
4
1
1
8
8
5
5
0
0
3
3
6
6
7
0
2
2
5
葫芦
0
3
0
3
0
3
2
2
0
3
0

韩信所说的“葫芦归罐”,是指把葫芦里的油往罐里倒;“罐归篓”是指把罐里的油往篓里倒。通常分油要把油从大容器往小容器里倒,现在却把小容器里的油往大容器里“归”。往油葫芦里倒油,只能得到3斤的油量;把葫芦里的油往罐里“归”,“归”到第三次,葫芦里就出现2斤的油量。再把满满一罐油“归”到篓里,腾出空来,把葫芦里的2斤油“归”到空罐里;最后再倒一葫芦3斤油,“归”到罐里,就完成分油任务了。

韩信点兵

秦朝末年,楚汉相争。一次,韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场,楚军不敌,败退回营,汉军也死伤四五百人,于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡,忽有后军来报,说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬,杀声震天。汉军本来已十分疲惫,这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶,见来敌不足五百骑,便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排,结果多出2名;接着命令士兵5人一排,结果多出3名;他又命令士兵7人一排,结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布:我军有1073名勇士,敌人不足五百,我们居高临下,以众击寡,一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅,这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动,鼓声喧天,汉军步步进逼,楚军乱作一团。交战不久,楚军大败而逃。

当时韩信是怎么算出来的,我们不知道。从历史上留下的典籍中,可以查出这种类型的算题最早出现在“孙子算经”中。它成书于公元3世纪左右,原作者已不可考。魏晋时期著名数学家刘徽曾为“孙子算经”作过注解。书中给出的算法是这样的:用以3作除数所得余数2乘以70,加上以5作除数所得余数3乘以21,再加上以7作除数所得余数2乘以15,得233。减去两个105后,得23。这个23就是满足上述各条件的最小整数。实际上(23+K*105),其中的K表示‘乘以’,当K等于任何正整数时,都可以满足所说的条件。因此要想得到准确数值还需要知道该数所在范围。韩信的1500将士在战斗后死伤四五百人,由此可知准确人数为1073。根据“孙子算经”的这个算法总结出有名的“中国剩余定理”,比内容相同的“高斯定理”早问世1500年。

宋朝有人把“孙子算经”给出的解法写成口诀:

三岁孩儿七十稀,
五留廿一事尤奇。
七度上元重相会,
寒食清明便可知。

注意诗中“上元”指的是正月十五元宵节,寒食到清明整整105天。明朝的程大位所给出的口诀更易懂些:

三人同行七十稀,
五树梅花廿一枝。
七子团圆正月半,
除百零五便得知。

传说中韩信点兵的故事还有另一种说法:“韩信有兵一队,若列为五行纵队,则末行一人,成六行纵队,则末行五人,成七行纵队,则末行四人,成十一行纵队,则末行十人,求兵数。”此题同样可用“中国剩余定理”得到答案。
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